As you may notice from the spoiler, only the owner of the Conspiracy card may trigger its ability. If your opponent discovers that you've been conspiring and spoils all your hard work (by winning the conspiracy instead of letting you win it), it doesn't mean they put the same effort into it! You still "created" the conspiracy, your opponent has merely foiled that conspiracy's plan. And sometimes it's better to foil your opponent's plans than it is to advance your own.
Es decir, únicamente el propietario de la conspiración puede activar el efecto de la conspiración (además de necesitar cumplir el requisito de facción). Esto es debido a que cambiaron las reglas de las conspiraciones después de que se escribiera el artículo

Así que para si mi oponente juega una conspiración de Cthulhu, y tengo personajes de Cthulhu en el momento de ganarle la conspiración a mi oponente... podré activar su efecto (aunque sea una conspiración del oponente).
El hilo de FFG (en ingles) es éste